Question

已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3?2n，n∈N*．（1）证明数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式

已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3?2n，n∈N*．（1）证明数列{an-2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由；（3）已知1＜r＜s且r，s∈N*，若a1，ar，as成等差数列，请求出r，s满足的关系式．

Answer 1

（1）由a₁=3，a_n+1+a_n=3?2ⁿ，n∈N^*．得：
an+1?2n+1＝?(an?2n)，
所以数列{an?2n}是以a₁-2=1为首项，公比为-1的等比数列，
∴an?2n=（-1）^n-1，所以an＝2n+(?1)n?1；
（2）假设存在连续三项a_n-1，a_n，a_n+1成等差数列，则由已知得：
2（2ⁿ+（-1）^n-1）=2^n-1+（-1）^n-2+2ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ，（n≥2）
化简得2^n-1=2²×（-1）^n-1，显然当n=3上式成立，
所以存在数列{a_n}中的第二、三、四项构成等差数列；
（3）由1＜r＜s且r，s∈N^*，结合通项可知a₁＜a_r＜a_s，
由a₁，a_r，a_s成等差数列，可得2a_r=a₁+a_s，
即2?2^r+2（-1）^r-1=3+2^s+（-1）^s-1，整理得2^r+1-2^s=3-2（-1）^r-1+（-1）^s-1，
因为1＜r＜s且r，s∈N^*，所以2^r+1-2^s的可能取值为0，8，…，而3-2（-1）^r-1+（-1）^s-1∈[0，6]，
∴2^r+1-2^s=0，
∴s=r+1（r≥2，r∈N）．