Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形．（1）求证：直线AD垂直平分BC；（2）以

如图，在△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，且△DBC为等边三角形．（1）求证：直线AD垂直平分BC；（2）以AB为一边，在AB的右侧画等边△ABE，连接DE，试判断以DA，DB，DE三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由．

Answer 1

解答：证明：（1）∵△DBC为等边三角形，
∴DB=DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∴直线AD垂直平分BC；

（2）以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形；
理由：连接CE，
∵∠ABD=∠ABE-∠DBE=60°-∠DBE=∠DBC-∠DBE=∠EBC，
在△EBC和△ABD中，

AB＝EB ∠ABD＝∠EBC DB＝CB

，
∴△EBC≌△ABD（SAS），
∴∠BCE=∠ADB，AD=CE，
在△ADB和△ADC中，

AD＝AD AB＝AC DB＝DC

，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=

1

2

（360°-∠BCD）=150°，
∴∠BCE=∠BDA=150°，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°，
∵CE=DA，DC=DB，
∴以DA，DB，DE三条线段能构成直角三角形．