Question

设函数f(x)＝13x3?a2x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（1）求b，c的值；（2）若

设函数f(x)＝13x3?a2x2+bx+c，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（1）求b，c的值；（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=x²-ax+b．由题意得

f(0)＝1 f′(0)＝0

，即

c＝1 b＝0

．
所以b=0，c=1．
（2）由（1）得f′（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（a，+∞）；单调减区间为（0，a）．
（3）g′（x）=x²-ax+2，依题意，存在x∈（-2，-1），使不等式g′（x）=x²-ax+2＜0成立．
当x∈（-2，-1）时，a＜x+

2

x

≤-2

2

，
所以满足要求的a的取值范围是a∈(?∞，?2

2

)．