Question

已知OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥BC，C为OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD，交OC过于

已知OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥BC，C为OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD，交OC过于点E。 （1）求证：CD=CE;（2）若将图1中的半径OB所在的直线向上平行移动，交⊙O于 ，其他条件不变，如图2，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？

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Answer 1

见解析

试题分析：(1)连接OD，则OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°，在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，再由OA=OD根据等边对等角可得∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，即可得到结论； （2）将原来的半径OB所在直线向上平行移动，可得CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°， 连接OD，则∠ODA+∠CDE=90°，再由OA=OD根据等边对等角可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，即可知结论仍然成立． （1）△CDE是等腰三角形．理由如下： 连接OD，则OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°； 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°， 在⊙O中，∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO， 又∵∠AEO=∠CED， ∴∠CED=∠CDE， ∴CD=CE， 即△CDE是等腰三角形； （2）结论仍然成立．理由如下： ∵将原来的半径OB所在直线向上平行移动， ∴CF⊥AO于F， 在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°， 连接OD，则∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD， 故可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE， 又∵∠AEF=∠CED， ∴∠CED=∠CDE， ∴CD=CE． 故△CDE是等腰三角形． 点评：解答本题的关键是掌握好圆的性质，灵活运用等边对等角，等角对等边，选择合适的条件，再结合等量代换等数学方法求解。