Question

已知函数 f(x)= x 2 +2x+a x ，x∈[1，+∞) ，（1）当 a= 1 2 时，求函数f（x）

已知函数 f(x)= x 2 +2x+a x ，x∈[1，+∞) ，（1）当 a= 1 2 时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围；（3）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

（1） f(x)= x 2 +2x+ 1 2 x   = x+ 1 2x  +2 因为当x∈[1，+∞），f（x）为增函数 所以 f(x)≥ 1+ 1 2 +2=3 1 2 当x=1时最小值是 7 2 （2）因为x≥1所以原题等价于x 2 +2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立 又因为当x≥-1时g（x）=x 2 +2x+a是增函数 所以只需g（1）＞0即可a＞-3 （3） f(x)＞4 ? x 2 +2x+a x ＞4 ? x 2 +2x+a x -4＞0 h(a)= x 2 +2x+a x  -4= 1 x a+x-2 因为x∈[1，+∞）所以只需h（-1）＞0得x＞1