Question

已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．（Ⅰ）求证：f（x）在R上是偶函数；（

已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．（Ⅰ）求证：f（x）在R上是偶函数；（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，且有f（2a 2 +a+1）＜f（-2a 2 +4a-3），求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）喊和销证明：函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）， 令x=0，得f（0）=f（y）郑游+f（-y），…（1分） 再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x）．…①…（2分） 令y=0，得f（0）=f（x）+f（x）．…②…（棚枝3分） ①-②得f（-x）-f（x）=0，…（4分） ∴f（-x）=f（x）．…（5分） 故f（x）在R上是偶函数．…（6分） （Ⅱ）因为f（x）在R上是偶函数， 所以f（x）的图象关于y轴对称．…（7分） 又因为f（x）在区间（-∞，0）上是减函数， 所以f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．…（8分） ∵ 2 a 2 +a+1=2( a 2 + 1 2 a+ 1 16 - 1 16 )+1=2(a+ 1 4 ) 2 + 7 8 ＞0 ， -2a 2 +4a-3=-2（a 2 -2a+1-1）-3=-2（a-1） 2 -1＜0， ∴2a 2 -4a+3＞0．…（9分） ∵f（-2a 2 +4a-3）=f（2a 2 -4a+3）． 原不等式可化为f（2a 2 +a+1）＜f（2a 2 -4a+3）…（10分） ∴2a 2 +a+1＜2a 2 -4a+3．解之得a＜ 2 5 ．…（11分） 故实数a的取值范围是 a＜ 2 5 ．…（12分）