Question

已知圆O 1 的方程为x 2 +(y+1) 2 =6,圆O 2 的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O 2

已知圆O 1 的方程为x 2 +(y+1) 2 =6,圆O 2 的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O 2 的方程.

Answer 1

(x-2) 2 +(y-1) 2 =6或(x-2) 2 +(y-1) 2 =22

设圆O 2 的方程为(x-2) 2 +(y-1) 2 =r 2 (r>0). ∵圆O 1 的方程为x 2 +(y+1) 2 =6, ∴直线AB的方程为4x+4y+r 2 -10=0. 圆心O 1 到直线AB的距离d= , 由d 2 +2 2 =6,得 =2, ∴r 2 -14=±8,r 2 =6或22. 故圆O 2 的方程为(x-2) 2 +(y-1) 2 =6或(x-2) 2 +(y-1) 2 =22. 【方法技巧】求解相交弦问题的技巧 把两个圆的方程进行相减得:x 2 +y 2 +D 1 x+E 1 y+F 1 -(x 2 +y 2 +D 2 x+E 2 y+F 2 )=0即(D 1 -D 2 )x+(E 1 -E 2 )y+(F 1 -F 2 )=0　① 我们把直线方程①称为两圆C 1 ,C 2 的根轴, 当两圆C 1 ,C 2 相交时,方程①表示两圆公共弦所在的直线方程; 当两圆C 1 ,C 2 相切时,方程①表示过圆C 1 ,C 2 切点的公切线方程.