Question

（本小题满分14分）已知函数 （1）判断 的单调性并证明；（2）若 满足 ，试确定 的取值范围。（3）

（本小题满分14分）已知函数 （1）判断 的单调性并证明；（2）若 满足 ，试确定 的取值范围。（3）若函数 对任意 时， 恒成立，求 的取值范围。

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Answer 1

解：（1） 在 上为增函数。（2） （3）在 上为增函数，所以最小值为 。所以 。

本试题主要是考查了函数的最值，和单调性的综合运用，以及不等式的恒成立的问题的综合运用。 （1）利用定义法设出变量，然后代入函数解析式得到差值，然后变形定号，下结论得到。 （2）在第一问的基础上得到不等式的求解。 （3）要证明不等式恒成立，构造新函数利用函数的最小值大于等于零得到证明。 解：（1）由题得： ，设 ， 则   ，又 ，得 ，即 在 上为增函数。 （2）由（1）得： 在 上为增函数，要满足 只要 ，得 （3） ，由 得： ，即   ① ，那么①式可转化为 所以题目等价于 在 上恒成立。即 大于函数 在 上的最大值。即求 在 上的最小值。令 ，由（1）得 在 上为增函数，所以最小值为 。所以 。