Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C 1 ：(x＋3) 2 ＋(y－1) 2 ＝4和圆C 2 ：(x－4) 2 ＋(y－5) 2 ＝4. (1)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C 1 ：(x＋3) 2 ＋(y－1) 2 ＝4和圆C 2 ：(x－4) 2 ＋(y－5) 2 ＝4. (1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C 1 截得的弦长为2 ，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l 1 和l 2 ，它们分别与圆C 1 和圆C 2 相交，且直线l 1 被圆C 1 截得的弦长与直线l 2 被圆C 2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

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Answer 1

（1）y＝0或7x＋24y－28＝0.（2） 或

(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C 1 到直线l的距离d＝ ＝1，结合点到直线距离公式，得 ＝1，化简得24k 2 ＋7k＝0，解得k＝0或k＝－ . 所求直线l的方程为y＝0或y＝－ (x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P坐标为(m，n)，直线l 1 、l 2 的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－ (x－m)，即kx－y＋n－km＝0，－ x－y＋n＋ m＝0. 因为直线l 1 被圆C 1 截得的弦长与直线l 2 被圆C 2 截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得圆心C 1 到直线l 1 与圆心C 2 到直线l 2 的距离相等．故有 ， 化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5. 因为关于k的方程有无穷多解，所以有 解得点P坐标为 或 .