Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为4，焦距为2．（1）求椭圆C的

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为4，焦距为2．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线L被椭圆C所截得的线段的中点P（-1，1），求直线L的方程（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

（1）∵椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1，a＞b＞0，
∵椭圆C上一点到F₁和F₂的距离之和为4，焦距为2，
∴2a=4，2c=2，∴b=

4?1

＝

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）设直线L与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线L被椭圆C所截得的线段的中点P（-1，1），
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

4

+

y2

3

＝1，得

3x12+4y12＝12 3x22+4y22＝12

，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂），
∴k=

y1?y2

x1?x2

=-