Question

已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列的前n项和为Sn，且a1=

已知数列{an}是以d为公差的等差数列，{bn}数列是以q为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列的前n项和为Sn，且a1=b1=d=2，S3＜a1003+5b2-2010，求整数q的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项bk，使得bk恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；（Ⅲ）若b1=ar，b2=as≠ar，b3=at（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知，a_n=2n，b_n=2?q^n-1，所以由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
可得到b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010?b₁-4b₂+b₃＜2006-2010?q²-4q+3＜0．
解得1＜q＜3，又q为整数，所以q=2；
故答案为2．
（Ⅱ）假设数列{b_n}中存在一项b_k，满足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2++b_m+p-1，
因为b_n=2ⁿ，∴b_k＞b_m+p-1?2^k＞2^m+p-1?k＞m+p-1?k≥m+p（*）
又bk＝2k＝bm+bm+1+bm+2++bm+p?1＝2m+2m+1++2m+p?1＝

2m(2p?1)

2?1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．
所以，这样的项b_k不存在；
故答案为不存在．
（Ⅲ）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
则d＝

ar(q?1)

s?r

又b3＝b1q2＝arq2＝at＝ar+(t?r)d?arq2?ar＝(t?r)?

ar(q?1)

s?r

，
从而ar(q+1)(q?1)＝ar(q?1)?

t?r

s?r

，
因为a_s≠a_r?b₁≠b₂，所以q≠1，又a_r≠0，
故q＝

t?r

s?r

?1．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数，
所以q是整数，且q≥2，
对于数列中任一项b_i（这里只要讨论i＞3的情形），
有b_i=a_rq^i-1=a_r+a_r（q^i-1-1）
=a_r+a_r（q-1）（1+q+q²++q^i-2）
=a_r+d（s-r）（1+q+q²++q^i-2）
=a_r+[（（s-r）（1+q+q²++q^i-2）+1）-1]?d，
由于（s-r）（1+q+q²++q^i-2）+1是正整数，所以b_i一定是数列{a_n}的项．
故得证．