Question

已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影．求证

已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影．求证：（1）O为△ABC的垂心；（2）O在△ABC内；（3）设SO=h，则1a2+1b2+1c2=1h2．

Answer 1

证明：（1）∵SA⊥SB，SA⊥SC，
∴SA⊥平面SBC，BC?平面SBC．∴SA⊥BC．
而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC．
同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心．
（2）证明△ABC为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c，
则底面三角形ABC中，AB=

a2+b2

为最大，从而∠ACB为最大角．
用余弦定理求得cos∠ACB=

2c2

2 b2+c2 a2+c2

＞0，
∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形．故O在△ABC内．
（3）SB?SC=BC?SD，
故SD=

bc

b2+c2

，

1

SD2

=

1

b2

+

1

c2

，又SA?SD=AD?SO，
∴

1

SO2

=

AD2

a2?SD2

=

a2+SD2

a2?SD2

=

1

a2

+

1

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