Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一动点（不与点A、B重合），D是半圆ADB中点，C、D在直径AB的两侧．（1）过

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一动点（不与点A、B重合），D是半圆ADB中点，C、D在直径AB的两侧．（1）过点C作⊙P的切线交DB的延长线于E，当∠BAC=30°时，求证：BC=CE．（2）若在⊙0内存在点P，使得AP=AD，CB=CP．①证明：AC2+CP2=2AP2②当△ACP是直角三角形时，求∠AOC的度数．

Answer 1

（1）证明：∵CE是⊙P的切线，∠BAC=30°，
∴∠BCE=∠BAC=30°．
∵AB是⊙O的直径，D是半圆ADB中点，
∴△ADB是等腰直角三角形，∠BAD=45°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=30°+45°=75°．
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE=∠CAD=75°，
∴∠E=180°-∠BCE-∠CBE=180°-30°-75°=75°，
∴∠E=∠CBE=75°，
∴BC=CE；

（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∵CB=CP，∴AC²+CP²=AB²．
∵△ADB是等腰直角三角形，且∠ADB=90°，AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∵AP=AD，∴AB²=2AP²，
∴AC²+CP²=2AP²；

②解：∵AC²+CP²=2AP²，
∴当△ACP是直角三角形时，AP不可能为斜边，所以分两种情况：
（Ⅰ）当AC为斜边时，则AP²+CP²=AC²，
又∵AC²+CP²=2AP²，∴AP²+CP²+CP²=2AP²，∴AP²=2CP²，
∵AB²=2AP²，∴AB²=4CP²=4BC²，∴AB=2BC，
∴∠CAB=30°，∴∠BOC=60°，∴∠AOC=120°；
（Ⅱ）当CP为斜边时，则AP²+AC²=CP²，
又∵AC²+CP²=2AP²，∴AP²+AC²=2AP²-AC²，∴AP²=2AC²，
∵AB²=2AP²，∴AB²=4AC²，∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°，∴∠AOC=60°．
综上可知，∠AOC为120°或60°．