Question

如图甲所示，一正方形单匝线框abcd放在光滑绝缘水平面上，线框边长为L、质量为m、电阻为R．该处空间存在

如图甲所示，一正方形单匝线框abcd放在光滑绝缘水平面上，线框边长为L、质量为m、电阻为R．该处空间存在一方向竖直向下的匀强磁场，其右边界MN平行于ab，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，0～t0时间内B随时间t均匀变化，t0时间后保持B=B0不变．（1）若线框保持静止，则在时间t0内产生的焦耳热为多少？（2）若线框从零时刻起，在一水平拉力作用下由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，经过时间t0线框cd边刚要离开边界MN．则在此过程中拉力做的功为多少？（3）在（2）的情况下，为使线框在离开磁场的过程中，仍以加速度a做匀加速直线运动，试求线框在离开磁场的过程中水平拉力F随时间t的变化关系．

Answer 1

（1）线框中产生的感应电动势 E=

△Φ

△t

=

B0L2

t0

在时间t₀内产生的焦耳热  Q=

E2

R

t0
解得 Q=

B 2 0 L 4

Rt0

（2）t₀时刻线框的速度v₀=at₀，得t0＝

v0

a

在此过程中拉力做的功  W=

1

2

m

v

2 0

解得W=

1

2

ma2

t

2 0

（3）设线框离开磁场过程的时间为t′，则有
  L=v₀t′+

1

2

at′2
解得 t′=

( v0 a )2+ 2L a

?

v0

a

将上题中t0＝

v0

a

代入得 t′=

t 2 0 + 2L a

?t0
线框在离开磁场的过程中运动的速度v=at
产生的感应电流  I=

B0Lv

R

由牛顿第二定律有  F-B₀IL=ma
解得  F=

B 2 0 L2at

R

+ma（t₀≤t≤

t 2 0 + 2L a

）
答：
（1）在时间t₀内产生的焦耳热为

B 2 0 L 4

Rt0

．
（2）在此过程中拉力做的功为

1

2

ma2

t

2 0

．
（3）线框在离开磁场的过程中水平拉力F随时间t的变化关系为解得 F=

B 2 0 L2at

R

+ma（t₀≤t≤

t 2 0 + 2L a

）．