Question

已知函数f(x)＝2cos(x?π3)+2sin(3π2?x)（1）求函数f（x）的单调递减区间．（2）求函数f（x）的最大值，

已知函数f(x)＝2cos(x?π3)+2sin(3π2?x)（1）求函数f（x）的单调递减区间．（2）求函数f（x）的最大值，并求f（x）取得最大值时的x的集合．（3）若f(x)＝65，求cos(2x?π3)的值．

Answer 1

由题意可得：f(x)＝2cos(x?

π

3

)+2sin(

3π

2

?x)，化简可得f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（1）当2kπ+

π

2

≤x?

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即化简可得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，
所以函数f（x）的单调递减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，(k∈Z)．
（2）当x?

π

6

＝2kπ+

π

2

，即x＝2kπ+

2π

3

时，函数f（x）有最大值2，
并且此时x的集合为{x|x＝2kπ+

2π

3

，k∈Z}．
（3）由题意可得：f(x)＝

6

5

，即2sin（x-

π

6

）=

6

5

，所以sin（x-

π

6

）=

3

5

．
所以cos（2x-

π

3

）=1-2sin²（x-

π

6

）=

7

25

．