Question

求救啊！！数学高手请进！！一道关于摆动数列的问题！！

最近在研究数列方面的问题，结果遇到了这个难题，还望高手指教！
定义一个数列{An},且A(1)=A(2)=1,A(n)=MA(n-1)+NA(n-2),其中所有A(n)均为正整数、M、N也是正整数。令B(n)=A(n-1)/A(n)
我已经证明了当n为奇数时B(n)呈单调递增，且极限为[-M+Sqr(M平方+4N)]/2N；当n为偶数时B(n)呈单调递减，且极限同上。
但遇到的一个问题是不知道怎么证明这个数列随着n的增大而越来越接近极限，即不知道怎么说明B(n)-[-M+Sqr(M平方+4N)/2N]>[-M+Sqr(M平方+4N)]/2N-B(n+1)。
如果嫌知道输入不方便，可以写个文件发到lopsem@qq.com的邮箱里来，标明自己网名，重酬！！如果回答的好还会加分。感谢各位大虾啦！！！

Answer 1

这东西用差分方程的方法, 或者z变换的方法来算, 比较快.

令x(n) = A(n+1) n为非负整数
x(n+2)=Ma(n+1)+Na(n)
进行单边z变换
z^2 ( X(z) - x(0) - x(1)/z ) = Mz ( X(z) - x(0) ) + NA(z)
z^2 ( X(z) - 1 - 1/z ) = Mz ( X(z) - 1 ) + NA(z)
X(z) * ( z^2 - Mz -N ) = z^2 + z - Mz
X(z) = z * ( z + 1 - M ) / ( z^2 - Mz - N )
令p,q为z^2 - Mz - N = 0的两个解, 由于M,N>0, p, q为实数, 在令p > q, 即:
p = ( M + √ ( M^2 + 4N ) ) / 2
进行逆z变换
x(n) = 1 / ( p - q ) * ( ( p + 1 - M ) * p^n - ( q + 1 - M ) * q^n )

令b(n) = x(n-1) / x(n)
b(n) = ( ( p + 1 - M ) * p^(n-1) - ( q + 1 - M ) * q^(n-1) ) / ( ( p + 1 - M ) * p^n - ( q + 1 - M ) * q^n )
lim(n->+∞)b(n) = 1 / p
= 2 / ( M + √ ( M^2 + 4N ) )
= 2 ( M - √ ( M^2 + 4N ) ) / ( -4N )
= ( √ ( M^2 + 4N ) - M ) / 2 / N

lim(n->+∞)B(n)
=lim(n->+∞)b(n)
= ( √ ( M^2 + 4N ) - M ) / 2 / N

Answer 2

B(n)=1/[M+NB(n-1)]……1式
若记极限为x，则x=1/(M+Nx)……2式
1式减2式，化简可得：|B(n)-x|/(|B(n-1)-x|=NxB(n)……3式
由于B(1)是没有定义的，所以3式中n>2
最后结论：从B2到Bn是否越来越接近极限，要依赖M和N的取值；

Answer 3

在数学分析中，收敛到某极限，无需后项一定比前项更接近极限，就像上面人说的，这个数列已经收敛了。

Answer 4

根据数学分析的极限理论 一个数列的全部子列都趋向于同一极限 则该数列趋于该值