Question

如图：P是反比例函数y= k x （k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线， 垂足为M

如图：P是反比例函数y= k x （k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线， 垂足为M，已知△POM的面积为2．（1）求k的值；（2）若直线y=x与反比例函数y= k x 的图象在第一象限内交于点A，求过点A和点B（0，-2）的直线表达式；（3）过A作AC⊥y轴于点C，若△ABC与△POM相似，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵△POM的面积为2， 设P（x，y）， ∴ 1 2 xy=2，即xy=4， ∴k=4； （2）解方程组 y=x y= 4 x ，得 x=2 y=2 ，或 x=-2 y=-2 ， ∵点A在第一象限， ∴A（2，2），（3分） 设直线AB的表达式为y=mx+n， 将A（2，2）B（0，-2）代入得： 2m+n=2 n=-2 解之得 m=2 n=-2 ， ∴直线AB的表达式为y=2x-2； （3）①若△ABC ∽ △POM，则有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2， 又 1 2 PM?OM=2，即 1 2 ×2PM?PM=2，得PM= 2 ∴P（2 2 ， 2 ）； ②若△ABC ∽ △OPM，同上述方法，易得OM= 2 ，∴P（ 2 ，2 2 ）， ∴符合条件的点P有（2 2 ， 2 ）或（ 2 ，2 2 ）．（9分）

Answer 2

∵△POM的面积为2，
设P（x，y），
∴ 1 2 xy=2，即xy=4，
∴k=4；
（2）解方程组
y=x y= 4 x ，得
x=2 y=2 ，或
x=-2 y=-2 ，
∵点A在第一象限，
∴A（2，2），（3分）
设直线AB的表达式为y=mx+n，
将A（2，2）B（0，-2）代入得：
2m+n=2 n=-2 解之得
m=2 n=-2 ，
∴直线AB的表达式为y=2x-2；
（3）①若△ABC ∽ △POM，则有PM：OM=AC：AB=2：4=1：2，
又 1 2 PM?OM=2，即 1 2 ×2PM?PM=2，得PM=
2 ∴P（2
2 ，
2 ）；
②若△ABC ∽ △OPM，同上述方法，易得OM=
2 ，∴P（
2 ，2
2 ），
∴符合条件的点P有（2
2 ，
2 ）或（
2 ，2
2 ）．（9分）