Question

已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点F和椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 的右焦点

已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点F和椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 的右焦点重合．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）设P（1，2），是否存在平行于OP（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OP与l的距离等于 5 5 ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆的右焦点F（1，0）， ∴ p 2 =1，p=2 ， ∴抛物线C的方程为y 2 =4x， 其准线方程为x=-1． （2）假设存在符合题意的直线l，其方程为2x+b， 由 y 2 =4x y=2x+b ，得y 2 -2y+2b=0， ∵直线l与抛物线有公共点， ∴△=4-8b≥0，即b ≤ 1 2 ， ∵直线OP与l的距离d= 5 5 ， ∴ |b| 5 = 1 5 ，即b=±1． 从而b=-1． ∴符合题意的直线l存在，其方程为y=2x-1．