已知:点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段BD、CE交于点M.(1)如图1,若AB=AC,AD=AE①问线
已知:点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段BD、CE交于点M.(1)如图1,若AB=AC,AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系?并说明理由;②...
已知:点C、A、D在同一条直线上,∠ABC=∠ADE=α,线段BD、CE交于点M.(1)如图1,若AB=AC,AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系?并说明理由;②求∠BMC的大小(用α表示);(2)如图2,若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE,则线段BD与CE的数量关系为______,∠BMC=______(用α表示);(3)在(2)的条件下,把△ABC绕点A逆时针旋转180°,在备用图中作出旋转后的图形(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),连接EC并延长交BD于点M.则∠BMC=______(用α表示).
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(1)如图1.
①BD=CE,理由如下:
∵AD=AE,∠ADE=α,
∴∠AED=∠ADE=α,
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α,
同理可得:∠BAC=180°-2α,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
∵
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°-2α;
(2)如图2.
∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE=
=90°-
α,
同理可得:∠BAC=90°-
α,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD与△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴△ABD∽△ACE,
∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴BD=kCE;
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°-
α.
故答案为:BD=kCE,90°-
α;
(3)如右图.
∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE=∠AED=
=90°-
α,
同理可得:∠BAC=90°-
α,
∴∠DAE=∠BAC,即∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD与△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α,
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°-
α+α=90°+
α.
故答案为:90°+
α.
①BD=CE,理由如下:
∵AD=AE,∠ADE=α,
∴∠AED=∠ADE=α,
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α,
同理可得:∠BAC=180°-2α,
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
∵
|
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
②∵△ABD≌△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°-2α;
(2)如图2.
∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE=
180°?∠ADE |
2 |
1 |
2 |
同理可得:∠BAC=90°-
1 |
2 |
∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE,
即:∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD与△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴△ABD∽△ACE,
∴BD:CE=AB:AC=AD:AE=k,∠BDA=∠CEA,
∴BD=kCE;
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°-
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2 |
故答案为:BD=kCE,90°-
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(3)如右图.
∵AD=ED,∠ADE=α,
∴∠DAE=∠AED=
180°?∠ADE |
2 |
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2 |
同理可得:∠BAC=90°-
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2 |
∴∠DAE=∠BAC,即∠BAD=∠CAE.
∵AB=kAC,AD=kAE,
∴AB:AC=AD:AE=k.
在△ABD与△ACE中,
∵AB:AC=AD:AE=k,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE,
∴∠BDA=∠CEA,
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC,∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α,
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°-
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故答案为:90°+
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