Question

已知函数f（x）=alnx+1?x1+x．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设p≥

已知函数f（x）=alnx+1?x1+x．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设p≥q＞0，求证：lnp-lnq≥p?qp+q．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=alnx+

1?x

1+x

，
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f′(x)＝

a

x

?

2

(1+x)2

=

a(1+x)2?2x

x(1+x)2

，．
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a（1+x）²-2x≥0在（0，+∞）上恒成立．
当x∈（0，+∞）时，由a（1+x）²-2x≥0得a≥

2x

(1+x)2

．
设g（x）=

2x

(1+x)2

=

2

x+ 1 x +2

，x＞0，∴g（x）≤

1

2

（当且仅当x=1时取等号），
∴a≥

1

2

，即实数a的取值范围为[

1

2

，+∞）．
（2）证明：要证ln

p

-ln

q

≥

p?q

p+q

，只需证

lnp?lnq

2

≥

p?q

p+q

，
只需证

1

2

ln

p

q

≥

p q ?1

p q +1

，只需证

1

2

ln

p

q

+

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