如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、A
如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：△ADN≌△CBM；（2）请连接MF、N...
如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：△ADN≌△CBM；（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．
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（1）证明：由折叠的性质得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵
，
∴△ADN≌△CBM，
（2）解：连接NE、MF，
∵△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形，
∵MN与EF不垂直，
∴四边形MFNE不是菱形；
（3）解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA=
=
=
，
解得NF=
，
∵OE=OF=
EF=
，
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=
，
∴MN=2ON=
，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=
，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG2=PQ2-QG2，即PG=
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△ADN和Rt△CBM中，
∵
|
∴△ADN≌△CBM，
（2）解：连接NE、MF，
∵△ADN≌△CBM，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四边形MFNE是平行四边形，
∵MN与EF不垂直，
∴四边形MFNE不是菱形；
（3）解：设AC与MN的交点为O，EF=x，作QG⊥PC于G点，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
在Rt△CFN中，tan∠DCA=
| NF |
| CF |
| BC |
| AB |
| 3 |
| 4 |
解得NF=
| 3 |
| 2 |
∵OE=OF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=
| ||
| 2 |
∴MN=2ON=
| 10 |
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四边形MQPN是平行四边形，
∴MN=PQ=
| 10 |
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，
PG2=PQ2-QG2，即PG=
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