如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、A

如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN,(1)求证:△ADN≌△CBM;(2)请连接MF、N... 如图(1),在矩形ABCD中,把∠B、∠D分别翻折,使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处,折痕分别为CM、AN,(1)求证:△ADN≌△CBM;(2)请连接MF、NE,证明四边形MFNE是平行四边形;四边形MFNE是菱形吗?请说明理由;(3)点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点,连接PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若PQ=CQ,PQ∥MN,且AB=4cm,BC=3cm,求PC的长度. 展开
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(1)证明:由折叠的性质得盯樱出∠DAN=∠NAC,∠BCM=∠返察ACM,
∵AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA,
∴∠DAN=∠BCM,
在Rt△ADN和Rt△CBM中凯世丛,
AD=BC
∠D=∠B=90°
∠DAN=∠BCM

∴△ADN≌△CBM,

(2)解:连接NE、MF,
∵△ADN≌△CBM,
∴NF=ME,
∵∠NFE=∠MEF,
∴NF∥ME,
∴四边形MFNE是平行四边形,
∵MN与EF不垂直,
∴四边形MFNE不是菱形;

(3)解:设AC与MN的交点为O,EF=x,作QG⊥PC于G点,
∵AB=4,BC=3,
∴AC=5,
∵AF=CE=BC=3,
∴2AF-EF=AC,即6-x=5,
解得x=1,
∴EF=1,
∴CF=2,
在Rt△CFN中,tan∠DCA=
NF
CF
=
BC
AB
=
3
4

解得NF=
3
2

∵OE=OF=
1
2
EF=
1
2

∴在Rt△NFO中,ON2=OF2+NF2
∴ON=
10
2

∴MN=2ON=
10

∵PQ∥MN,PN∥MQ,
∴四边形MQPN是平行四边形,
∴MN=PQ=
10

∵PQ=CQ,
∴△PQC是等腰三角形,
∴PG=CG,
在Rt△QPG中,
PG2=PQ2-QG2,即PG=
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