Question

设数列{an}满足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设bn=2n?1an，求数列{bn}

设数列{an}满足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设bn=2n?1an，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n①，
∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n-1②
∴①-②可得na_n=1，∴a_n=

1

n

（n≥2）
又a₁=1也满足上式，∴数列{a_n}的通项为a_n=

1

n

；
（2）b_n=

2n?1

an

=n?2^n-1，
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
则2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ
相减得S_n=n?2ⁿ-（1+2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+1
∴S_n=（n-1）?2ⁿ+1（n∈N^*）．