Question

如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线y=k\x相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点

如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线y=k\x相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为（1，-4）
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式
（2）若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标
（3）过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

答：

1）

点B（1,-4）代入双曲线y=k/x得：k=-4

双曲线为：y= -4 /x

抛物线y=ax²+bx+c经过原点：y(0)=0+0+c=0，c=0

所以：y=ax²+bx经过点B

所以：y(1)=a+b=-4，b=-a-4

所以：y=ax²-(a+4)x

点A在第二象限并且到两坐标轴的距离相等，设A（-t，t），t>0

代入双曲线和抛物线方程：
y=-4/(-t)=t

所以：t²=4

解得：t=2（t=-2不符合舍弃）

所以：点A（-2,2）

代入抛物线y=ax²-(a+4)x：y(-2)=4a+2a+8=2

解得：a=-1

所以：抛物线为y=-x²-3x，点A（-2,2）

2）

AB直线为y=-2x-2，即2x+y+2=0

过点E的抛物线的切线斜率为-2，则设过点E的直线平行AB：
y=-2x+d

联立抛物线：y=-2x+d=-x²-3x，x²+x+d=0有唯一的交点E

判别式=1²-4d=0

解得：d=1/4，x= -1/2

所以：y=-1/4+3/2=5/4

点E（-1/2，5/4）到AB的距离=|-1+5/4+2|/√(2²+1²)=9√5/20

AB=√[(-2-1)²+(2+4)²]=3√5

面积S=3√5×(9√5/20)÷2=27/8

所以：面积最大值为27/8，点E（-1/2，5/4）

3）

直线BC为y=-4，联立抛物线y=-x²-3x解得点C（-4，-4）

要使得S△ABC=S△ABD

则点C和点D到AB的距离相等

所以：CD//AB

所以：直线CD为y-(-4)=-2×[x-(-4)]

所以：直线CD为y=-2x-12

与抛物线y=-x²-3x联立：

y=-x²-3x=-2x-12

x²+x-12=0

(x+4)(x-3)=0

解得：x=3或者x=-4

所以：点D为（3，-18）