Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与B

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。（1）求证：BD=BF；（2）若BC=12，AD=8，求BF的长。

Answer 1

解：（1）连结OE， ∵OD=OE， ∴∠ODE=∠OED， ∵⊙O与边AC 相切于点E， ∴OE⊥AE， ∴∠OEA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠OEA=∠ACB， ∴OE∥BC， ∴∠F=∠OED， ∴∠ODE=∠F， ∴BD=BF； （2）过D作DG⊥AC于G，连结BE， ∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC， ∵BD为直径， ∴∠BED=90°， ∵BD=BF， ∴DE=EF， 在△DEG和△FEC中， ∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF， ∴△DEG≌△FEC， ∴DG=CF， ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴ ∴ ∴ ∴ 或 （舍去） ∴BF=BC+CF=12+4=16。