Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是CE上的一点，且FC=FA，延长AF交⊙O于G，连接CG．（1）试判断

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是CE上的一点，且FC=FA，延长AF交⊙O于G，连接CG．（1）试判断△ACG的形状（按边分类），并证明你的结论；（2）若⊙O的半径为5，OE=2，求CF?CD之值．

Answer 1

（1）△ACG是等腰三角形． 证明如下： ∵CD⊥AB，∴ AD = AC ．（1分） ∴∠G=∠ACD，（2分） ∵FC=FA， ∴∠ACD=∠CAG，（3分） ∴∠G=∠CAG， ∴△ACG是等腰三角形．（4分） （2）连接AD，BC，（5分） 由（1）知 AC = AD ， ∴AC=AD． ∴∠D=∠ACD，（6分） ∴∠D=∠G=∠CAG， 又∵∠ACF=∠DCA， ∴△ACF ∽ △DCA，（7分） ∴AC：CD=CF：AC， 即AC 2 =CF?CD，（8分） ∵CD⊥AB，（9分） ∴AC 2 =AE 2 +CE 2 =（5-2） 2 +（5 2 -2 2 ）=30．（11分） ∴CF?CD=30．（12分）