Question

已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC= ，CD= .（1）求tan∠ABD的值； （2）求AD

已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC= ，CD= .（1）求tan∠ABD的值； （2）求AD的长.

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Answer 1

（1）1；（2） .

试题分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C=60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE=BE，然后求出∠EDB=∠EBD=45°，再求出∠ABD=45°，然后根据特殊角的三角函数值解答. （2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF=AF= ，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解． 试题解析：（1）如图， 作 于点E. ∵在Rt△CDE 中，∠C=60°，CD= ， ∴ . ∵BC= ， ∴ . ∴   ∴在Rt△BDE 中，∠EDB= ∠EBD=45º. ∵AB⊥BC，∠ABC=90º， ∴∠ABD=∠ABC-∠EBD=45º. ∴ tan∠ABD=1.    （2）如图，作 于点F. 在Rt△ABF 中，∠ABF=45º, AB=1， ∴ . ∵在Rt△BDE 中， ， ∴ . ∴ . ∴在Rt△AFD 中， .

Answer 2

用余弦定理 求 BD
BD²=12+12+6√3-2（2√3（3+√3））cos60=18，BD=3√2
用正弦定理 求sin∠DBC
BD/sinC =CD/sin∠DBC

3√2/（√3/2）=2√3/sin∠DBC
sin∠DBC=√2/2，∠DBC=45°
因为 ，AB⊥BC，所以 ∠ABD=90-∠DBC=45°
tan∠ABD=1

用余弦定理 求 AD
AD²=BD²+AB²-2BD*ABcos∠ABD=19-√2*3√2*1=13
AD=√13