Question

已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为

已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．①若线段AB中点的横坐标为－ ，求斜率k的值；②已知点M(－ ，0)，求证： · 为定值．

Answer 1

（1） ＋ ＝1 （2）①±        ②见解析

(1) ＋ ＝1(a>b>0)满足a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，又 ＝ ， ×b×2c＝ ， 解得a 2 ＝5，b 2 ＝ ，则椭圆方程为 ＋ ＝1． (2)设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )． ①将y＝k(x＋1)代入 ＋ ＝1， 得(1＋3k 2 )x 2 ＋6k 2 x＋3k 2 －5＝0， ∴Δ＝48k 2 ＋20>0，x 1 ＋x 2 ＝－ ， ∵AB中点的横坐标为－ ， ∴－ ＝－1，解得k＝± ． ②由(1)知x 1 ＋x 2 ＝－ ，x 1 x 2 ＝ ， ∴ · ＝(x 1 ＋ ，y 1 )·(x 2 ＋ ，y 2 ) ＝(x 1 ＋ )(x 2 ＋ )＋y 1 y 2 ＝(x 1 ＋ )(x 2 ＋ )＋k 2 (x 1 ＋1)(x 2 ＋1) ＝(1＋k 2 )x 1 x 2 ＋( ＋k 2 )(x 1 ＋x 2 )＋ ＋k 2 ＝(1＋k 2 ) ＋( ＋k 2 )(－ )＋ ＋k 2 ＝ ＋ ＋k 2 ＝  (定值)．