Question

阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2=-ba，x1x2=c

阅读下列材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．解决下面问题：已知关于x的一元二次方程（2x+n）2=4x有两个非零不等实数根x1、x2，设m=1x1+1x2．（1）求n的取值范围；（2）试用关于n的代数式表示出m；（3）是否存在这样的n值，使m的值等于1？若存在，求出这样的所有n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将方程整理得：4x²+4（n-1）x+n²=0，
∵方程有两个非零不等实数根，
∴△=[4（n-1）]²-4×4n²＞0且n²≠0，
解得n＜

1

2

，且n≠0
∴n的取值范围是n＜

1

2

，且n≠0；

（2）∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程4x²+4（n-1）x+n²=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-

4(n-1)

4

=1-n，x₁?x₂=

n2

4

，
∴m=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

1-n

n2 4

=

4(1-n)

n2

；

（3）存在．
理由：当m=1时，即

4(1-n)

n2

=1，
整理得：n²+4n-4=0，
解得：n=-2±2

2

，
∵n＜

1

2

，
∴n=-2+2

2

不符合题意，舍去；
∴使m=1的值存在，此时n=-2-2

2

．