Question

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，且AB=1，BC=2，AA1=2．求直线B1C与平面B1BDD1夹角的余

如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，且AB=1，BC=2，AA1=2．求直线B1C与平面B1BDD1夹角的余弦值．

Answer 1

解答：解：如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∵AB=1，BC=2，AA₁=2，
∴B₁（1，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
∴

B1C

＝(0，2，?2)，

BB1

=（0，0，2），

BD

=（-1，2，0），
设平面B₁BDD₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n

?

BB1

＝0，

n

?

BD

＝0，
∴

2z＝0 ?x+2y＝0

，∴

n

＝(2，1，0)，
设直线B₁C与平面B₁BDD₁夹角为θ，
则cosθ=

1?(cos＜ B1C ， n ＞)2

=

1?( 0+2+0 4+4 ? 4+1 )2

=

3 10

10

．
故直线B₁C与平面B₁BDD₁夹角的余弦值为

3 10

10

．