Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2．（1）M是AB上一点，且AM

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2．（1）M是AB上一点，且AM=33，F是PC上一点，则当PFFC为何值时，BF∥平面PDM？（2）E为PD的中点，在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求NE与平面PAD所成角的大小．

Answer 1

（1）当

PF

FC

=2时，BF∥平面PDM．
证明如下：
F作FG∥PD，交CD于G，则CG=

1

2

GD，连结BG，
∵AB

∥

.

CD，AM=

1

2

MB，
∴BM

∥

.

DC，即四边形BMDG这平行四边形，∴BG∥DM，
∴平面BFG∥平面PDM，
∵BF?平面BFG，∴BF∥平面PDM．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（

3

，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，

1

2

，1），
则

AP

=(0，0，2)，

AC

=（

3

，1，0），
由于N点在侧面PAB内，
故设N（x，z），则

NE

=（-x，

1

2

，1-z），
由NE⊥平面PAC，得

NE ? AP =z-1=0 NE ? AC =- 3 x+ 1 2 =0

，
∴

NE

=（-

3

6

，

1

2

，0），
∵平面PAD的一个法向量

n

=(1，0，0)，
∴|cos＜

NE

，

n

＞|=

|- 3 6 |

3 3

=

1

2

，
设NE与平面PAD所成角为θ，
则sinθ=

1

2

，∴θ=

π

6

，
∴NE与平面PAD所成角为

π

6

．