Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE=90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；（2）当点F在线段BC上时，设AE=x，BF=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

Answer 1

解答：解：（1）∵AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB＝6

2

，
∵DF∥AB，CD＝

1

2

AC，
∴DF＝

1

2

AB＝3

2

，（1分）
∴DE＝

3

2

2

，（1分）
在Rt△DEF中，cot∠DEF＝

DE

DF

＝

3 2 2

3 2

＝

1

2

；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE=x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，
∵∠B=∠A，
∴∠AEH=∠A，HE＝HA＝

2

2

x，（1分）
∴HD＝3?

2

2

x，
又可证△HDE∽△CFD，
∴

HD

CF

＝

HE

DC

，（1分）
∴

3? 2 2 x

6?y

＝

2 2 x

3

，
∴y＝?

9 2

x

+9(

2

≤x≤3

2

)；（2分）

（3）∵CE≥

1

2

AB＝3

2

＞3，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC两种可能．（1分）
当DC=DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：AE＝2AG＝3

2

，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF=6；（2分）
当ED=EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC=90°，
∵∠FDC+∠F=90°，
∴∠F=∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴

CF

DM

＝

CD

EM

，
∴

CF

3 2

＝

3

3+ 3 2

，
∴CF=1，∴BF=7，（2分）
综上所述，BF为6或7．