Question

已知F是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双

已知F是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，（1）若△ABE是锐角三角形，求该双曲线的离心率e的取值范围；（2）若E（1，0），e=3，过圆O：x2+y2=2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于M，N两点，试判断：∠MON的大小是否为定值？并说明理由．

Answer 1

（1）根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=

b2

a

=

c2?a2

a

，|EF|=a+c，
∴

c2?a2

a

＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
两边都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）．
（2）∵E（1，0），e=

3

，
∴

a＝1 c a ＝ 3

，∴b=

3?1

=

2

，
∴双曲线方程为x²-

y2

2

=1．
设直线MN的方程为y=kx+b，
联立

y＝kx+b x2? y2 2 ＝1

，得（2-k²）x²-2kbx-（b²+2）=0，
由直线l与双曲线交于M，N点，
故2-k²≠0，△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2＝

2kb

2?k2

，x1x2＝

?(b2+2)

2?k2

，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

?k2b2?2k2

2?k2

+

2k2b2

2?k2

+

2b2?k2b2

2?k2

=

2b2?2k2

2?k2

，
∴

OM

?

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

?b2?2

2?k2

+

2b2?2k2

2?k2

=

b2?2(1+k2)

2?k2

，
∵b²=2（1+k²），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OM

⊥

ON

，∴∠MON=90°为定值．