Question

若二元函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微分，则下列结论中不正确的是（　　）A．f（x，y）在点P0（x0

若二元函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处可微分，则下列结论中不正确的是（　　）A．f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续B．f（x，y）在点P0（x0，y0）处有偏导数C．f（x，y）在点P0（x0，y0）处沿任何方向有方向导数D．f（x，y）在点P0（x0，y0）处的一阶偏导函数均连续

Answer 1

①选项A．由于f（x，y）在（x₀，y₀）点可微，即△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）
因此

lim

(x，y)→(x0，y0)

f(x0+△x，y0+△y)=

lim

ρ→0

[f(x0，y0)+△f]＝f(x0，y0)，即连续
即偏导数存在且连续?可微分，
故A正确．
②选项B．在△f=f（x₀+△x，y₀+△y）-f（x₀，y₀）=A△x+B△y+o（ρ）中，令△y=0
则有f（x₀+△x，y₀）-f（x₀，y₀）=A△x+o（|△x|），两端处于△x，并令△x→0，得

lim

△x→0

f(x0+△x，y0)?f(x0，y0)

△x

＝fx(x0，y0)，同理f_y（x₀，y₀）也存在．
故B正确．
③选项C．由于二元函数f（x，y）在点P₀（x₀，y₀）处可微分，则有

?f

?l

|P0＝fx(x0，y0)cosα+fy(x0，y0)cosβ，
即f（x，y）在点P₀（x₀，y₀）处沿任何方向有方向导数
故C成立．
④选项D．偏导数存在且连续?可微分，但反之不成立．
故D不正确
故选：D．