Question

两道高数 求大神解答

5，6两题 学渣跪谢

Answer 1

5题利用凸凹性即可，高中直接使用和差化积公式
（sinx）''=-sinx<0 凸函数 (arctanx)''=-2x/(1+x^2)^2<0 凸函数
凸函数性质 f(x1/2+x2/2)>=[f(x1)+f(x2)]/2

6题 f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)
f'(x)=(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)
f''(x)=x-x3+x-x2+x-x3+x-x1+x-x2+x-x1=6x-2(x1+x2+x3)
f''(x0)=6x0-2(x1+x2+x3)=0
x0=(x1+x2+x3)/3

7题 f'(x)=1+cosx>=0 f(x)单调增加 所以f(x)有反函数 f^(-1)(x)
设f^(-1)(1)=a 那么 f(a)=1 即a+sina=1
f^(-1)'(1)=1/f'(a)=1/(1+cosa)