求幂级数和号(2n+1)x^n的和函数

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解答过程如下:

先求f(x)=∑(n+1)x^n

积分得:F(x)=C+∑dux^(n+1)=C+x/(1-x) , 收敛zhi域为|x|<1

求导得:f(x)=1/(1-x)^2

所以有∑(2n+1)x^n=2∑(n+1)x^n-∑x^n=2/(1-x)^2-1/(1-x) 

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幂级数的和函数的一般步骤:

通常,首先求出幂级数的收敛半径,收敛区间。

如果幂级数有n、(n+1)等系数时,需要先将级数逐项积分,约掉这些系数,就可能化为几何级数了,然后求其和。当然,与积分对应的,一定记得将来对这个级数的和再求导数。

同理,如果幂级数有 1/n、1/(n+1)等系数时,需要先将级数逐项求导,也是为了约掉这些系数,化为几何级数,然后求其和。只是将来对这个级数的和再求积分。

总之,有一次求导,将来就要对应一次积分,反之也一样。因为我们可以把求导和积分看成逆运算,这样做的目的是要将级数还原。

Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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解答过程如下:

先求f(x)=∑(n+1)x^n

积分得:F(x)=C+∑dux^(n+1)=C+x/(1-x) , 收敛zhi域为|x|<1

求导得:f(x)=1/(1-x)^2

所以有∑(2n+1)x^n=2∑(n+1)x^n-∑x^n=2/(1-x)^2-1/(1-x) 

几何含义

函数与不等式和方程存在联系(初等函数)。令函数值等于零,从几何角度看,对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。

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dennis_zyp
2014-12-20 · TA获得超过11.5万个赞
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先求f(x)=∑(n+1)x^n
积分得:F(x)=C+∑x^(n+1)=C+x/(1-x) , 收敛域为|x|<1
求导得:f(x)=1/(1-x)^2
所以有∑(2n+1)x^n=2∑(n+1)x^n-∑x^n=2/(1-x)^2-1/(1-x)
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手机用户12804
2014-12-22
知道答主
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没这么麻烦吧
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