在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若acosB-bcosA= 3 5 c,则tan(A-B)的最大值为

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若acosB-bcosA=35c,则tan(A-B)的最大值为______.... 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若acosB-bcosA= 3 5 c,则tan(A-B)的最大值为______. 展开
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猴自城33
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知道答主
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∵acosB-bcosA=
3
5
c,
∴结合正弦定理,得sinAcosB-sinBcosA=
3
5
sinC,
∵C=π-(A+B),得sinC=sin(A+B)
∴sinAcosB-sinBcosA=
3
5
(sinAcosB+cosAsinB)
整理,得sinAcosB=4sinBcosA,同除以cosAcosB,得tanA=4tanB
由此可得tan(A-B)=
tanA-tanB
1+tanAtanB
=
3tanB
1+4ta n 2 B
=
3
1
tanB
+4tanB

∵A、B是三角形内角,且tanA与tanB同号
∴A、B都是锐角,即tanA>0,tanB>0
1
tanB
+4tanB≥2
1
tanB
?4tanB
=4
∴tan(A-B)=
3
1
tanB
+4tanB
3
4
,当且仅当
1
tanB
=4tanB,即tanB=
1
2
时,tan(A-B)的最大值为
3
4

故答案为:
3
4
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