Question

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC.

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC.小题1:求证：AD是半圆O的切线；小题2:若BC=2，CE= ，求AD的长.

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Answer 1

小题1:见解析。 小题2:

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠BCA=90°． 又∵BC∥OD，∴OE⊥AC． ∴∠D+∠DAE=90°． ∵∠D=∠BAC， ∴∠BAC+∠DAE=90°． ∴OA⊥OD ∴AD是半圆O的切线．              （2）解：∵BC∥OD，∴△AOE∽△ABC， ∴ ， 又∵BA=2AO，CE= ，∴AC=2CE=2 ． 在Rt△ABC中， AB= ， ∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°， ∴△DOA∽△ABC． ∴  即 ． ∴AD= ．