Question

把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，

把一张边长为40 cm的正方形硬纸板，进行适当的裁剪，折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子． ①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm 2 ，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm 2 ，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)．

Answer 1

(1)剪掉的正方形的边长为9 cm； (2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm 2 . (3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.

解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm， 则(40－2x) 2 ＝484， 即40－2x＝±22，解得x 1 ＝31(不合题意，舍去)，x 2 ＝9. ②侧面积有最大值． 设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm 2 ， 则y与x的函数关系式为y＝4(40－2x)x， 即y＝－8x 2 ＋160x， 改写为y＝－8(x－10) 2 ＋800，∴当x＝10时，y 最大 ＝800. (2)在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为x cm， 2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550， 解得x 1 ＝－35(不合题意，舍去)，x 2 ＝15. ∴剪掉的正方形的边长为15 cm. 答：(1)剪掉的正方形的边长为9 cm； (2)当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大为800 cm 2 . (3)此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.