Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的离心率为

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的离心率为 3 2 ，且在x轴上的顶点分别为A 1 （-2，0），A 2 （2，0）．（1）求椭圆方程；（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA 1 、PA 2 分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

Answer 1

（1）由已知椭圆C的离心率 e= c a = 3 2 ，a=2 ，可得 c= 3 ，b=1 ， ∴椭圆的方程为 x 2 4 + y 2 =1 ． （2）设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ），直线A 1 M斜率为k 1 ，则直线A 1 M的方程为y=k 1 （x+2）， 由 y= k 1 (x+2) x 2 4 + y 2 =1 ，解得 x 1 = -8 k 21 +2 4 k 21 +1 ， y 1 = 4 k 1 4 k 21 +1 ，∴M点坐标为（ -8 k 21 +2 4 k 21 +1 ， 4 k 1 4 k 21 +1 ）． 同理，设直线A 2 N的斜率为k 2 则N点坐标为（ 8 k 22 -2 4 k 22 +1 ， -4 k 2 4 k 22 +1 ）． 由直线A 1 M与直线A 2 N的交点P（t，y p ）在直线l上， 又y p =k 1 （t+2），y p =k 2 （t-2），∴k 1 （t+2）=k 2 （t-2），∴ k 1 - k 2 k 1 + k 2 =- 2 t ． 又MN的方程为 y- y 1 x- x 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 ，令y=0，得  x= x 2 y 1 - x 1 y 2 y 1 - y 2 = 4 t ． 即直线MN与x轴交点为 ( 4 t ，0) ，又t＞2，∴ 0＜ 4 t ＜2 ． 又椭圆右焦点为 ( 3 ，0) ，故当 t= 4 3 3 时，MN 过椭圆的焦点．