Question

已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若 m=(-cos A 2 ，sin A 2 )

已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若 m=(-cos A 2 ，sin A 2 ) ， n=(cos A 2 ，sin A 2 ) ， a=2 3 ，且 m?n= 1 2 ．（1）求角A的值．（2）求b+c的取值范围．

Answer 1

（1） m=(-cos A 2 ，sin A 2 ) ， n=(cos A 2 ，sin A 2 ) ，且 m?n= 1 2 ． ∴ -co s 2 A 2 +si n 2 A 2 = 1 2 ，即 -cosA= 1 2 ， 又A∈（0，π），∴ A= 2π 3 ； （2）由正弦定理得： b sinB = c sinC = a sinA = 2 3 sin 2π 3 =4 ， 又 B+C=π-A= π 3 ， ∴ b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin( π 3 -B)=4sin(B+ π 3 ) （8分） ∵ 0＜B＜ π 3 ，则 π 3 ＜B+ π 3 ＜ 2π 3 ． 则 3 2 ＜sin(B+ π 3 )≤1 ，即b+c的取值范围是 (2 3 ，4]. （10分）