Question

已知函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 且f（0）=1，f（1）=0．（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数

已知函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 且f（0）=1，f（1）=0．（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe x ≥mx+1≥-x 2 +4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax 2 -（a+1）x+1]e x ， ∴f′（x）=[ax 2 +（a-1）x-a]e x ， 由题意函数f（x）=（ax 2 +bx+c）e x 在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0 当a＞0时，因为二次函数y=ax 2 +（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1； 当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x 2 -1）e x ＜0，函数符合条件； 当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe x ＜0，函数符合条件； 当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件； 综上知，a的取值范围是0≤a≤1 （II）当a=0时，f（x）=（1-x）e x ，假设存在实数m使不等式2f（x）+4xe x ≥mx+1≥-x 2 +4x+1对任意x∈R恒成立， 由mx+1≥-x 2 +4x+1得，x 2 +（m-4）x≥0恒成立，∴△=（m-4） 2 ≤0，∴m=4． 下面证明：当m=4时，2f（x）+4xe x ≥mx+1对任意x∈R恒成立，即（2x+2）e x ≥4x+1对任意x∈R恒成立， 令g（x）=（2x+2）e x -4x-1，g′（x）=（2x+4）e x -4，∵g′（0）=0， 当x＞0时，2x+4＞4，e x ＞1，∴（2x+4）e x ＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x＜0时，2x+4＜4，0＜e x ＜1，∴（2x+4）e x ＜4，g′（x）＜0，g（x）在（-∞0，）上单调递减， ∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）e x ≥4x+1对任意x∈R恒成立． 综上所述，实数m=4使不等式2f（x）+4xe x ≥mx+1≥-x 2 +4x+1对任意x∈R恒成立．