Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且始终保持AD=CE，

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE，DF，EF．探究：（1）在整个运动过程中，△DEF的形状是______；（2）指出线段AD、BE与AC间的数量关系，并说明理由．（3）若AB=10cm，求四边形DCEF的面积．

Answer 1

（1）等腰直角三角形，
理由如下：
在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
又∵F是AB中点，
∴∠ACF=∠FCB=45°，
即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，
在△ADF与△CEF中，

AD＝CE ∠A＝∠FCE AF＝CF

，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=FE，
∴△DFE是等腰三角形，
又∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，
∴∠AFC=∠DFE，
∵∠AFC=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；

（2）AC=BE+AD，
由（1）可知△ADF≌△CEF，
∴AD=CE，∵CA=CB，
∴CD=BE，
∴AC=AD+CD=BE+AD；

（3）∵AB=10cm，
∴CF=

1

2

AB=5cm，
∴S_△ABC=

1

2

×10×5=25，
∴四边形DCEF的面积=

1

2

S_△ABC=

1

2

×25=

25

2

．