Question

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在

已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．（1）如图所示，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间存在怎样的数量关系，请说明理由；（2）在（1）的条件下，延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=27，求tan∠ACP的值．

Answer 1

（1）AE=2MD，理由为：
证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，又D为BC的中点，
∴AB=BC=2BD，即

AB

BD

=2，
∵∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

AE

DM

=

AB

BD

=2，即AE=2MD；
（2）如图2，连接AD，EP，过N作NH⊥AC，垂足为H，连接NH，

∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=

1

2

AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴

BE

BM

=

AB

DB

=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2

7

，AB=7，
∴BE=

AB2?AE2

=

21

，
∴tan∠EAB=

BE

AE

=

3

2

，
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC，
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB，
∴tan∠PCB=

3

2

，
在Rt△ABD中，AD=AB?sin∠ABD=