Question

试用数学归纳法证明122+132+…+1(n+1)2＞12-1n+2

试用数学归纳法证明122+132+…+1(n+1)2＞12-1n+2．

Answer 1

解答：证明：（1）当n=1时，左边=

1

4

，右边=

1

6

，不等式成立
（2）假设当n=k时，原式成立，即

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

＞

1

2

-

1

k+2

，
当n=k+1时，

1

22

+

1

32

+…+

1

(k+1)2

+

1

(k+2)2

＞

1

2

-

1

k+2

+

1

(k+2)2

∵-

1

k+2

+

1

(k+2)2

+

1

k+3

=

1

(k+2)2(k+3)

＞0，
∴-

1

k+2

+

1

(k+2)2

＞-

1

k+3

，
∴

1

2

-

1

k+2

+

1

(k+2)2

＞

1

2

-

1

k+3

，
即n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n都成立
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2

-

1

n+2

．