Question

已知P（-5，0），点Q是圆（x-5）2+y2=36上的点，M是线段PQ的中点．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点

已知P（-5，0），点Q是圆（x-5）2+y2=36上的点，M是线段PQ的中点．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）过点P的直线l和轨迹C有两个交点A、B（A、B不重合），①若|AB|=4，求直线l的方程．②求PA?PB的值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：设M（x，y），则P（-5，0）关于M的对称点为Q（2x+5，2y），
∵点Q是圆（x-5）²+y²=36上的点，
∴（2x+5-5）²+（2y）²=36，即x²+y²=9，
所以轨迹C的方程是x²+y²=9．…（3分）
（Ⅱ）①解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程是y=k（x+5），
由方程组

y＝k(x+5) x2+y2＝9

，得（1+k²）x²+10k²x+25k²-9=0，
由△=（10k²）²-4（1+k²）（25k²-9）＞0，得?

3

4

＜k＜

3

4

∴x1+x2＝?

10k2

1+k2

，x1x2＝

25k2?9

1+k2

，…（6分）
∵|AB|=4，∴

1+k2

|x1?x2|＝4，
∴

1+k2

?

(x1+x2)2?4x1x2

＝4，
∴

1+k2

?

(? 10k2 1+k2 )2? 4(25k2?9) 1+k2

＝4，
解得k＝±

1

2

，∴直线l的方程是y＝±

1

2

(x+5)，
即直线l的方程是x+2y+5=0或x-2y+5=0．…（10分）
②解：由①可得　|PA|?|PB|＝

1+k2

|x1+5|?

1+k2

|x2+5|
=（1+k²）|x₁x₂+5（x₁+x₂）+25|
=(1+k2)|

25k2?9

1+k2

?

50k2

1+k2

+25|=16．…（13分）
∴

PA

?

PB

＝|

PA

|?|

PB

|＝16．
∴

PA

?

PB

的值是16．…（14分）
注：第②小题，如果考生证△PAD∽△PDB，从而得出|PD|²=|PA|?|PB|（其中D是直线l和圆相切时的切点），证明完整，得满分，没有证明，直接用|PD|²=|PA|?|PB|者，最多得（2分）．