Question

设f（x）在[0，1]可导，f（0）=0，0＜f′（x）＜1，求证：（∫10f（x）dx）2＞∫10f3（x）dx

设f（x）在[0，1]可导，f（0）=0，0＜f′（x）＜1，求证：（∫10f（x）dx）2＞∫10f3（x）dx．

Answer 1

令：F（x）=(

∫

x 0

f(t)dt)2-

∫

x 0

f3(t)dt，
则要证（

∫

1 0

f（x）dx）²＞

∫

1 0

f³（x）dx，只需证明F（1）＞0即可，
利用积分上限的求导公式可得：
F′(x)＝f(x)?[2

∫

x 0

f(t)dt?f2(x)]，
因为：f′（x）＞0，f（0）=0，
所以：f（x）＞0，
令：g（x）=2

∫

x 0

f(t)dt-f²（x），
则：g′（x）=2f（x）[1-f′（x）]＞0，
即：g（x）在[0，1]上单调递增，
所以：g（x）＞g（0）=0．
从而，F′（x）＞0，于是，F（x）在[0，1]上单调递增，
故有：F（x）＞F（0）=0．
所以：F（1）＞0成立．

Answer 2

解答：解（1）对变限积分求导，f′(x)＝
∫
x
0
f(t)dt+xf(x)．
（2）f（0）=0，f(1)＝
∫
1
0
f(x)dx＝0，又因为f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
由罗尔定理可得，存在一点ξ∈（0，1）使得f'（ξ）=0，即
∫
ξ
0
f(x)dx＝?ξf(ξ)
（3）因为f'（0）=0，f'（ξ）=0，ξ∈（0，1）及f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，
由罗尔定理，存在一点x0∈（0，ξ）使得f''（x0）=0，即2f（x0）+x0f'（x0）=0．