Question

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD。（1）写出图中所有与△DC

如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD。（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由。

Answer 1

解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE；  ①△CDA≌△DCE的理由是： ∵AD∥BC， ∴∠CDA=∠DCE， 又∵DA=CE，CD=DC ，  ∴△CDA≌△DCE， ②△BAD≌△DCE的理由是： ∵AD∥BC， ∴∠CDA=∠DCE， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠BAD=∠CDA， ∴∠BAD =∠DCE， 又∵AB=CD，AD=CE， ∴△BAD≌△DCE； （2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直， 理由是：设AC与BD的交点为点G， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=DB， 又∵AD=CE，AD∥BC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE，AC∥DE， ∴DB=DE， 则BF=FE， 又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6， ∴BF=FE=3， ∵DF=3， ∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°， ∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°， 又∵AC∥DE ∴∠BGC=∠BDE=90°， 即AC⊥BD。 （说明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同样给满分。）