Question

有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A、B两方，开始时棋子放在A方，根据下列①、②、③的规定移动棋子

有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A、B两方，开始时棋子放在A方，根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移动棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A方就不动，如果棋子在B方就移至A方．（1）求将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率．（2）将骰子掷了n次后，棋子仍在A方的概率记为P n ，求P n ．

Answer 1

（1）将骰子连掷2次，棋子掷第一次后仍在A方而掷第二次后在B方的概率P= 2 6 × 4 6 = 2 9 ． （2）设把骰子掷了n+1次后，棋子仍在A方的概率为P n+1 ，有两种情况： ①第n次棋子在A方，其概率为P n ，且第n+1次骰子出现1点或6点，棋子不动，其概率为 2 6 = 1 3 ． ②第n次棋子在B方，且第n+1次骰子出现2，3，4，5或6点，其概率为 5 6 ． ∴ P n+1 = 1 3 P n + 5 6 (1- P n ) ，即 P n+1 - 5 9 =- 1 2 ( P n - 5 9 ) ，P 0 =1， P 1 = 1 3 P 0 + 5 6 (1- P 0 )= 1 3 ， P n+1 - 5 9 P n - 5 9 =- 1 2 ． ∴{ P n - 5 9 }是首项为 P 1 - 5 9 =- 2 9 ，公比为 - 1 2 的等比数列． ∴ P n - 5 9 =- 2 9 (- 1 2 ) n-1 ，即 P n = 5 9 + (-1) n 9? 2 n-2 ．