Question

如图，已知一次函数 的图象与x轴交于点A，与二次函数 的图象交于y轴上的一点B，二次函数 的图象与x轴

如图，已知一次函数 的图象与x轴交于点A，与二次函数 的图象交于y轴上的一点B，二次函数 的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2． （1）求二次函数 的解析式；（2）设一次函数 的图象与二次函数 的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

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Answer 1

（1） （2）P 1 （1，0）和P 2 （ ，0）

解：（1）∵ 交x轴于点A，∴0=0.5x+2，解得x=－4。∴A点坐标为：（－4，0）。 ∵ 与y轴交于点B，∴y=2。∴B点坐标为：（0，2）。 ∵二次函数 的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2 ∴可设二次函数 。 把B（0，2）代入得：a= 。 ∴二次函数的解析式为： ，即 。 （2）①当B为直角顶点时，过B作BP 1 ⊥AD交x轴于P 1 点， ∵Rt△AOB∽Rt△BOP 1 ，∴ 。 ∴ ，解得：OP 1 =1。 ∴P 1 点坐标为（1，0），       ②当D为直角顶点时作P 2 D⊥BD，连接BP 2 ， 将 与 2联立求出两函数另一交点坐标：D点坐标为：（5， ），则AD= 。 由A（－4，0），B（0，2）可得AB= 。 ∵∠DAP 2 =∠BAO，∠BOA=∠ADP 2 ， ∴△ABO∽△AP 2 D。∴ 。 ∴ ，解得AP 2 = 。 则OP 2 = 。 ∴P 2 点坐标为（ ，0）。 ③当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P 3 （a，0）， 则由Rt△OBP 3 ∽Rt△EP 3 D得： ， ∴ 。 ∵方程无解，∴点P 3 不存在。 综上所述，点P的坐标为：P 1 （1，0）和P 2 （ ，0）。 （1）根据 交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数 的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数 ，进而求出即可。 （2）分点B为直角顶点，点D为直角顶点，点P为直角顶点三种情况讨论，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可。