Question

设方程2sin（x+2y-3z）=x+2y-3z确定z=z（x，y），则?z?x+?z?y=______

设方程2sin（x+2y-3z）=x+2y-3z确定z=z（x，y），则?z?x+?z?y=______．

Answer 1

由2sin（x+2y-3z）=x+2y-3z，得：F（x，y，z）=2sin（x+2y-3z）-（x+2y-3z）
∴F_x=2cos（x+2y-3z）-1，F_y=4cos（x+2y-3z）-2，F_z=-6cos（x+2y-3z）+3
∴

?z

?x

＝?

Fx

Fz

=?

2cos(x+2y?3z)?1

?6cos(x+2y?3z)+3

=?

1

3

?z

?y

＝?

Fy

Fz

=?

4cos(x+2y?3z)?2

?6cos(x+2y?3z)+3

=

2

3

∴

?z

?x

+

?z

?y

=

1

3

Answer 2

已知2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z，求证∂z/∂x+∂z/∂y=1
【原题有错！2sin(2+2y-3z)应是2sin(x+2y-3z)之误，否则等式不能成立。】
证明：令f(x，y，z)=2sin(x+2y-3z)-x-2y+3z=0
则∂z/∂x=-(∂f/∂x)/(∂f/∂z)=-[2cos(x+2y-3z)-1]/[-6cos(x+2y-3z)+3]........(1)
∂z/∂y=-(∂f/∂y)/(∂f/∂z)=-[4cos(x+2y-3z)-2]/[-6cos(x+2y-3z)+3]...........(2)
(1)+(2)即得∂z/∂x+∂z/∂y=[-6cos(x+2y-3z)+3]/[-6cos(x+2y-3z)+3]=1

Answer 3

由2sin（x+2y-3z）=x+2y-3z，得：F（x，y，z）=2sin（x+2y-3z）-（x+2y-3z）∴Fx=2cos（x+2y-3z）-1，Fy=4cos（x+2y-3z）-2，Fz=-6cos（x+2y-3z）+3∴?z?x＝?FxFz=?2cos(x+2y?3z)?1?6cos(x+2y?3z)+3=?13?z?y＝?FyFz=?4cos(x+2y?3z)?2?6cos(x+2y?3